比特币白皮书中的泊松分布

白皮书

只要交易一旦发出，攻击者就开始秘密地准备一条包含了该交易替代版本的平行链条。然后收款人将等待交易出现在首个区块中，然后在等到z个区块链接其后。此时，他仍然不能确切知道攻击者已经进展了多少个区块，但是假设诚实区块将耗费平均预期时间以产生一个区块，那么攻击者的潜在进展就是一个泊松分布。

白皮书中没有解释为什么符合泊松分布，泊松分布是什么。
我们将先从数学家泊松讲起，然后推导泊松分布，最后论证，为什么区块链的攻击者的潜在进展是一个泊松分布
。

1.泊松

泊松（
1781-1840
），是法国
19
世纪力学家、物理学家与数学家。曾言
“
人生只有两样美好的事情，发现数学与教数学
”
，而他也确实做到了，既是一个优秀的科学家，也是一个优秀的教师。泊松的研究范围极广，几乎对所有数学分支都作出过贡献；对电磁理论的研究，实际上创建了数学物理的一个分支；物理学中理论力学、流体力学、热力学、弹性力学、外弹道学、天体力学等都有他的足迹。作为老师，曾培养了柯西等人，但也遗憾未能赏识阿贝尔、伽罗瓦。

而最富传奇色彩或为人们广泛了解的，恐怕要数我们要介绍的分酒问题、泊松亮斑与泊松分布。

分酒达人
——
立志数学

据说泊松在青年时代研究过下面一个有趣的数学游戏，对这个数学游戏的研究，使得泊松决心要当一位数学家。游戏如下：

某人有12品脱(英容积单位)啤酒一瓶,想从中倒出6品脱，但是没有6品脱的容器,只有一个8品脱的容器和一个5品脱的容器。怎样倒酒，才能使8品脱的容器中恰好装6品脱啤酒?这个数学游戏有两种不同的解法,我们介绍其中一种方法：

12	12	4	4	9	9	1	1	6
8	0	8	3	3	0	8	6	6
5	0	0	5	0	3	3	5	0

泊松解开这个有趣的数学游戏后，对数学如痴如醉，在自己的努力下最终取得了令人瞩目的成就。

乌龙英雄
——
泊松亮斑

光是我们见得最多的东西，各国神话中开天辟地之前宇宙都是一片混沌（黑暗），例如中国的盘古开天辟地前，或者西方上帝的创世纪前。但是开始创世之后几乎都是马上创造了光，《圣经》中明确记载：上帝说,要有光,于是世上有了光。自古以来我们都迷恋光，对光如痴如醉，大部分时候，几乎没有人喜欢黑暗。光究竟是什么？历史上关于光是什么的争论整整持续了300多年，期间的故事可以用荡气回肠来形容。主要分为两派，粒子派认为光是粒子，传播就像子弹飞出去一样，波动派则认为光是波，其传播像水波向外扩散一样。

古希腊时代，人们开始思考光的本质，那时的主流思想是认为光是一粒一粒的。
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世纪初笛卡尔提出光是波的看法，并得到了惠更斯的支持，波动说占了上风。十八世纪，牛顿发表《光学》，认为光是粒子，由于其崇高的历史地位，微粒说风行。十九世纪初，托马斯杨做了著名的双缝干涉实验，证实了光是一种波。很多科学学家再次倒向了波动学说的阵营。但是粒子说还有很多坚定支持者，比如我们要讲的主人公泊松。

在这样的历史背景下，法国科学院为了鼓励科学家对光的衍射问题的研究，在
1817
年
3
月，提出了两个征文题目，作为
1819
年数理科学的悬赏项目：（
1
）设计实验证明光具有衍射效应；（
2
）依据实验用数学方法推导光通过物体附近的运动情况。

1818
年，年仅
30
岁的菲涅尔（被后世成为
“
物理光学的缔造者
”
）提交了应征论文，并给出了波动方程，完美的解释了光的偏振现象，定量的计算了光遇到圆孔或圆板时的衍射花纹，完美地符合实验观察。但是论文遭到了评审文员会（拉普拉斯、毕奥、阿拉果、吕萨克与泊松）中光粒子学说的支持者泊松的强烈反对。
泊松运用其高超的数学技巧，根据菲涅尔的理论，推导出了一个圆盘衍射的结论，若菲涅尔的理论是正确的，那么当点光源的光射向圆盘时，在圆盘后，距离圆盘特定距离的屏幕上，圆盘的阴影的中心会出现一个亮斑，这是多么的荒缪。泊松欣喜若狂，宣称自己驳倒了光的波动学说。
阿拉果、菲涅尔得到这一消息后，分别利用泊松的理论结果做实验，果然在圆盘阴影的中心发现了亮斑。这个亮斑，被命名为泊松亮斑，不知泊松作何感想。这一实验，有力的支持了波动学说。

光粒子学说的拥护者泊松，本想驳斥波动学说，却不想进了乌龙球，帮助波动学说派扳下一城，历史就是如此打脸！但泊松仍旧是光学发展史上的英雄。

此后，光波动学说深入人心，堪称绝妙的麦克斯韦方程组，更加坚定了科学家认为光是一种波的信心。直至
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世纪，量子力学的蓬勃发张，揭示了光的波粒二象性，粒子说与波动说之争才告一段落。

随机必然
——
泊松分布

1832年，泊松出版了《关于判决概率的研究》，引发了争议，导致泊松与一批法国数学家，针对是否应该讲概率理论应用于法律问题，展开了论战，这可能是历史上首次系统地将概率方法引入判决问题。

1837年发表概率论代表作《关于刑事案件与民事案件审判概率的研究》，此书引进了“大数定律”这一名词，并公布了“泊松分布”。泊松是在研究法庭审判问题过程中发现泊松分布的，将概率应用于伦理学引起了很大的非议。这一分布，后来被广泛应用于：在工业、商业、农业、交通、医学、军事、物理学、公共事业等领域。泊松说“我建立了描述随机现象的一种概率分布”。

泊松分布，适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、
DNA
序列的变异数、放射性原子核的衰变数，宇宙中单位体积内星球的个数，耕地上单位面积内杂草的数目等。还可用于指导商家如何备货，最优化物流调运等，具有极其广泛的运用。
看似随机的现象，存在必然的规律。

2.
泊松分布

准备知识，包括高中数学的期望，二项分布，极限
。

1.期望

期望：数学期望(mean)（或
均值，亦简称期望）是试验中
每次可能结果的概率乘以其结果的总和
，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

例子，一枚无明显缺陷的骰子，掷1次，期望是多少？

一枚无明显缺陷的骰子，掷1次，得到点数可能结果为1,2,3,4,5,6，每种结果的概率都是1/6，根据定义，期望E为：

2.
二项分布

伯努利分布：一个事件的结果只有两种A,B，并且结果为A的概率为p，结果为B的概率为1-p,那么我们说这是一个伯努利分布。

例子：抛一枚普通硬币，只会有正反两个结果，结果为正面概率为0.5，为反面概率为1-0.5.这是一个伯努利分布。

二项分布：在n次独立重复的
伯努利试验中，设每次试验中事件
A发生的概率为p。用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，…，n,且对每一个k（0≤k≤n）,事件{X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k次”，随机变量X的离散概率分布即为二项分布（Binomial Distribution）。[百度百科]

例子：连续抛n次硬币，（抛一次硬币是一个伯努利实验，每次抛硬币的结果之间互不影响，表明连续抛n次是独立重复的），正面出现的次数可能为0，1，…，n，那么正面恰好出现k次的概率P(k)是多少？

（1）

其中（

代表从
n
个不同的元素中，任取
m
（
m≤n
）个元素，可能的组合种类）。

（3）自然对数
e
，与几个极限

e是一个
无限不循环小数，其值约等于
2.718281828459…，它是一个
超越数。它是怎么来的，怎么自然了？

复利极限
——
自然对数

e
这个符号是以数学英雄
Euler
名字的首字母命名的，但是第一个发现这个常数的并不是欧拉，而是雅克比伯努利，而这个数的发现源自于人类的贪婪。

如果我们去银行存取过钱，就会知道复利这个概念，简单来讲就是利滚利。比如
Alice
有
1
块钱，银行年利率
100%
。如果
Alice
将这
1
块钱存入银行，那么，一年后她将得到两块。机智的你可能已经发现，年利率
100%
，那么半年利率就是
50%
，如果
Alice
把
1
块钱存半年连同利息取出来，得到
1.5
元，然后再存半年，取出来会得到
2.25=1.5*1.5
。利息又产生了利息，
Alice
会比存一整年取出来多得
0.25
元。若变成一个月存取一次，一年后得到
2.613
。

存取周期	一年	半年	一个月
利率	100%	50%	(1/12)*100%
一年后本息(元)	2	2.25	2.613

貌似存取周期越短，最终收益越高。如果存取周期为1/n年，1/n年对应利率为(1/n)*100%，n趋近于无穷时，Alice一年后总财富T会无限多吗？如果是无穷多，我们就可以采用这种策略，不劳而获了，遗憾的是，答案是否定的。

根据上述假设，我们的存取周期为1/n年时，一年后的本息和为T(n):

当
n
趋近于无穷时，

这是这种方式复利的极限，而银行也不可能会让上述复利方式存在，现实中银行的利率策略通常是，存取的次数越多，最终得到的本息和越少。

这个常数，摧毁了人类贪婪的梦想，最后数学家把这个数称为自然对数e。自然，可能是因为，一方面它是复利的极限，另一方面以e作为底数时有很多优秀的性质，这里就不展开说了，有兴趣的可以网上搜索（包括上面极限的推导）。

其他三个极限的易推导，对推导不感兴趣的，可以只看（2），（3），（4）三个结论，然后直接看泊松分布部分：

，令

，即

则

（
2
）

（
3
）

（
4
）

证明如下：

对于任意的

一定存在一个足够大的N使得，当ngt;N
时：

从而，当ngt;N时：

对于任意的

，都有：

所以


，（
4
）根据上述推导过程易得。

有了上述准备工作，泊松分布的推导将易如反掌。

泊松分布：

符合下述三个条件的都符合泊松分布

1.普通性:如果时间区间充分小，事件出现两次或两次以上的概率可忽略不计.

2.平稳性:在任意时间区间内，事件发生k次(k≥0)的概率只依赖于区间长度而与区间端点无关.
3.无后效性:在不相重叠的时间段内，事件的发生是相互独立的.

通俗来讲，如果对于事件A（例如一天内小孩的出生数量），我们把时间[0,1]平均分成n段，满足如下性质：

① 当n足够大时，每个时间段[i/n,i+1/n)内只存在两种结果：事件A发生1次（例如有1个小孩出生），或0次（每个时间段，符合伯努利分布）；

② 事件A在时间段[i/n,i+1/n)发生1次的概率（出生一个小孩的概率），只与时间段长度1/n成正比（发生概率与时间长度成正比）；

③ 事件A在不重叠的时间段，是否发生，（不同时间段是否有小孩出生）互不影响（独立性）。

那么这个事件就符合一个泊松分布。

当时间分段n固定时，上述分布就是一个二项分布（参看上文二项分布定义）：独立重复n次；每次都只有两个结果：发生1次，发生0次（发生一次概率为λ/n）。

所以泊松分布就是重复次数n趋近无穷，单次概率p=λ/n的二项分布。一个泊松事件发生k次的概率为：将p=λ/n代入（1），然后n趋近于无穷求极限

（5）

将（2），（3），（4）带入上式可得：

3.
比特币攻击者与泊松分布

诚实节点与攻击节点同时开始竞赛，诚实节点每次制造出下一各区块的概率为p，攻击节点每次制造出下一个区块的概率为q。当诚实节点制造出z个区块时，攻击者潜在进展就是一个泊松分布，分布的期望值为：

期望是

容易理解，但为什么是符合泊松分布呢？

当诚实节点制造出
z
个区块，所需的时间期望为

秒。（全网算力每
600
秒挖出一个区块，全网算力挖出
z
个区块需要
600*z
秒。诚实节点每次制造出下一各区块的概率为
p
）

秒的时间，每秒看成一个时间段，分成

段。对于攻击者而言：

①
时间足够短，每个时间段
[i,i+1)
内只存在两种结果：攻击者制造出一个区块，或
0
个（
符合伯努利分布
）；

② 在每个时间段，攻击者制造出一个区块的可能性，与时间段长度成正比（挖到区块概率与时间长度成正比）；

③ 在不重叠时间段是否制造出区块，互不影响（独立性）。

①②是显然的，我们只需要验证③：

攻击者，挖矿过程可以看作从整数空间中，寻找题的答案：比如总共有

个数（这个数略微大了一些），只有

个正确答案，攻击者每秒能试

个。

攻击者每秒钟试过的数只占总数的

攻击者

秒试过的数占总数的

从0到

秒，无论攻击者何时成功制造一个区块，每一秒内成功的概率
P
都有：

任何1秒是否解答成功，下一秒找到答案的概率基本无变化，可看作各段是否解答成功是独立的。

所以当诚实节点制造出
z
个区块时，攻击者潜在进展就是一个泊松分布，分布的期望值为：
λ=Z*q/p
。

攻击者取得进展区块数量为k的概率为

；攻击者取得进展区块数量为
k
时，落后诚实区块个数为
z-k
，能够追上诚实节点区块长度的概率为

。

将攻击者取得进展为0,1，…，的概率，分别乘以该进展情况下，能够追上诚实区块的概率，就是攻击者能够成功的概率。

即：

与白皮书上结论一致。