研究报告：了解算法稳定性的不稳定性

作为作家

赵文启李辉袁玉明

摘要：

算法稳定币（Algorithmic stable currency）是一种由计算机代码控制的加密货币（即智能合约），其目的是动态降低其价格相对于特定资产（如美元）的波动性。然而，近年来随着算法的快速发展，其波动性远远超出人们的预期。本文深入研究了算法稳定币的核心，回答了两个基本问题：算法稳定币在设计上是否具有波动性？他们能在实践中保持稳定吗？具体来说，本文首先对三种流行的算法稳定币进行了深入研究，并建立了一个模框架，对它们的核心协议进行了形式化描述。通过形式验证，该框架可以确定稳定币可能变得不稳定的关键条件。其次，将理论可能性与市场观察相结合，对基差现金的实际交易过程进行了系统的实证分析。最后，对该算法的未来发展提出了一些建议。

第1部分。介绍

众所周知，加密货币的价格具有很大的波动性，而加密货币的价格往往波动很快。因此，将加密数字货币的价值与外部资产（如美元）联系起来的稳定币应运而生。与不稳定币（如比特币[19]、以太坊[24]）相比，稳定币试图利用各种机制来降低其相对锚定资产的价格波动。其中，最常见的是有担保背书的稳定币，即其价值由商品、法定货币或其他加密货币等外部资产作为担保。例如，以美元为基础的美元稳定币[5]。与认可稳定币不同，算法稳定币通常没有其他资产支持，但它通过算法稳定价格，不会降低太多的资本效率，因此近年来受到越来越多的关注。一般来说，算法稳定币是通过算法控制权证的供应来实现价格稳定，这类似于央行发行和回购货币。本文主要研究算法稳定币，以后又称为稳定币（背书稳定币不是本文的主要研究对象）。

假设有一种算法稳定币锚定在美元上，智能合约旨在动态调整其供应量，减少其自身的价格波动。我们先简要说明一下这个算法的逻辑，然后再详细讨论更深入的内容。当稳定币价格超过1美元时，智能合约“生产”并向市场投放更多代币。这样，稳定币供应量增加，价格下降，逐渐接近锚定价格；当稳定币价格低于1美元时，就会减少货币供应量，逐步将稳定币价格拉回到1美元。在实践中，不同的稳定币模会采用不同的模来控制稳定币的价格。虽然有许多有趣的研究试图建立这样的模，但没有多少工作来研究它们是否真的有效。

本文从理论和实践两方面对算法稳定币的波动性进行了分析，试图回答以下两个问题：1。算法稳定币在设计上有波动性吗？2算法稳定币在实践中能否保持稳定？

本文的目的是为算法稳定硬币的设计和实现提供一个更全面的解释，并着重研究其波动性。我们相信，波动率的研究对于现有算法的优化和未来的设计都是非常重要的。本文的主要贡献如下

1通过对三种常用的稳定币算法的实例分析，建立了一个通用的形式化建模与验证框架，用于识别稳定币可能出现不稳定的具体条件；

2进一步，以以太坊的实际交易为基础，对基差现金项目进行了实证研究，成功地将理论可能性（稳定币的可能波动）与2020年12月至2021年1月的实际市场表现（意外波动结果）联系起来。

2背景

我们将算法稳定币分为三类：退税、铸币税份额和部分抵押贷款。在这一部分，我们以一些流行的项目为例，简要介绍了这三种算法的关键设计。

2.1 Ampleforth代表的钢筋等级

一般的ERC20代币价格是有弹性的。退基算法通过一些传统的调整机制来稳定代币价格，例如调整稳定器的总供给。更具体地说，这种自适应调整是通过“重基”过程自动实现的。在代币供应变化过程中，目标稳定代币价格将逐步稳定到原来的锚定价格，如1美元。我们以Ampleforth[1]为例。

智能合约根据Ampleforth的设计机制，每天凌晨2点调整Ampleforth的代币供应。当Ampleforth价格高于锚定价格时，系统将同时增加所有用户地址的ampl余额，但用户持有的ampl占总供应量的比例在整个过程中不会发生变化。假设Ampleforth的初始锚定价格为1美元，价格上涨20%，即1.20美元。然后一个100安培的账户在系统重新调整后（实际上是通过多次调整完成的），系统余额会变为120安培。相反，当Ampleforth价格低于锚定价格时，所有用户持有的ampl余额将同时按比例减少。

2.2以基差现金表示的铸币份额；

在算法稳定币铸币税份额的代币模中，通常引入稳定币和股票代币两种加密货币。原则上，当稳定的代币价格高于原锚定价格时，股票代币用于增加货币供应量。除这两种代币外，铸币税份额算法中的稳定币通常会发行可赎回债券，从而在稳定币价格低于锚定价时形成一种拉回价格的激励机制。以基差现金[2]为例作进一步说明。协议包括三种类的代币：

Nbsp；BAC稳定币。美国银行是一种稳定币，以基本现金发行，固定价格为1美元。

Nbsp；BAS股票代币。Bas是指基础份额，是ERC20代币，当通货膨胀发生时，为用户提供BAC的通货膨胀利益。Bas旨在通过动态增加BAC的供应来防止BAC价格过高。目前，可以通过参与去中心化金融平台上的流动性挖矿来获取bas，如Uniswap[6]。

Nbsp；bab债券。Bab是指基准债券，其价格等于BAC当前价格的平方，即[如果！Msequation][ENDIF]。BAB的设计为参与者提供了一种以折扣价获得BAB的方法。它的目的是在BAC价格崩溃时将价格拉回到1美元。

整个基差现金协议是通过增发和收缩两种机制来调节银行券的供给，稳定银行券的价格。让我们简单介绍一下这两个过程。

扩张。扩张机制的目的是在美国银行价格高于锚定价格时增加美国银行的供应。根据基本现金的设计，有两种情况会触发扩展。在第一种情况下，BAC将作为奖励发放给bas持有人。也就是说，对于持有一定数量的银行，在扩容过程中按比例分配新的银行账户；另一方面，当价格高于锚定时，银行账户持有人可以按1:1的价格赎回银行账户，从而增加银行账户的数量。通过这两种方式，生物活性炭的供应量将增加，生物活性炭的价格将逐步下降。

拧紧。收紧机制的目的是减少美国银行的供应。也就是说，当BAC价格低于1美元时，用户可以销毁BAC以低价购买BAB。如果价格再次高于1美元，用户可以用1:1的BAB债券赎回稳定币BAC，形成套利空间，鼓励用户买入并销毁BAC。从设计上看，供应紧张的预期可以防止美国银行的价格过于低于锚定价格。

2.3以FraX为代表的部分抵押类别

与前两种算法相比，第一种算法在前两种算法的基础上，增加了一些稳定币作为抵押资产。一方面，与Dai等现有的抵押稳定币相比，一些抵押稳定币可以降低代币的托管风险，避免过度抵押的发生；另一方面，与完全由算法控制的稳定币相比，这种稳定币具有较高的价格稳定性。接下来，我们将以FraX[4]为例。

FraX是第一个部分抵押算法稳定币项目。系统中有两种代币，即锚定值为1美元的稳定币远期利率和治理代币FXS。其中，[如果！Msequation][ENDIF]为抵押利率，按系统算法每小时调整一次，每次调整0.25%，以保持远期价格的稳定。最初，抵押贷款利率是1。当抵押贷款利率为0.5时，新的远期利率需要其他价值为0.5美元的稳定币作为抵押；当抵押贷款利率为1时，新远期利率需要全额抵押才能投远期利率；当抵押贷款利率为0时，远期利率是纯算法稳定币。

原则上，铸造n FraX需要[if！Msequation][ENDIF]和燃烧的FXS的[if！Msequation][ENDIF]。当FraX价格高于1美元时，会有套利机会，用户可以利用1美元的价值将FraX投得高于1美元，从而鼓励用户投得更多，降低FraX价格；当FraX价格低于1美元时，用户可以销毁一个FraX，换取1美元的代币组合，主要是质押券和FXS。这项措施将鼓励用户购买更多的FraX，减少FraX的供应，提高FraX的价格。

3建模与验证

3.1稳定币模

在这一节中，我们提出了一个形式化框架m≔（P，e，∁，s，B，x），它由六种时间自动机[7]组成，每种时间自动机都包含一组元组Q≔（s，s）0，x，a，T，I，s_n>，其中s是一组有限状态，s是一组有限状态，s是一组有限状态，s是初始状态，X是一组非负实时钟变量，s是初始状态，s是各种可接受状态的集合，a是动作的集合，I是状态不变量的集合。假设ɕ是一个约束函数，那么t⊆s×ɕ（x）×2^x×a×s是一组状态转换，其中每个转换是〈s，a，G，R，s^#39；〉，s和s^#39；分别是源状态和目标状态，a是动作，G是转换条件，R是等待复位的时钟集。

另外，m通过四种同步信道Ω≔{ω}e、ωc、ωx、ωU}实现通信。其中，欧米伽E和ωC用于触发代币供应的扩张和收缩，欧米伽X用于模拟市场活动和更新稳定币价格，而ω用于模拟市场活动，U用于同步E、∁和X的变化。图1是我们的基本现金形式模，这也适用于其他类的稳定币。由于篇幅的限制，我们只讨论BAC。

P模拟核心协议的五种状态，即初始状态、预扩张状态、扩张状态（当价格高于锚定价格时）、预收紧状态和收紧状态（当价格低于锚定价格时）。在扩张和收缩过程开始之前，通道ωE和ωC将被激活。

E定义了一个进程，包括时钟T和三个状态。当t在系统规定的供给扩展时间内（如24点钟），只要e收到P的请求，系统就开始扩展稳定币（即全局变量n）ubac）的供给，对于基差现金，e为其建立两个扩展变换并通过通道ωuu与X同步。

∁抽象了整个供应紧缩过程。与e类似，我们还更新了全局变量，以减少稳定币的总体供给。然而，我们也模拟了供应量不变的情况（投资者不将BAC换成bab）。

S和B用来模拟交易中买卖双方的行为。它们随机生成交易请求，通过ωX通道发送，完成与其他市场参与者的沟通和互动。

X抽象DEX与自动做市功能，如Uniswap。在X中，所有交易价格都是根据AMM和稳定币池计算的。不仅如此，X还定义了买卖状态，以表示它是在买方市场（即卖方多于买方）还是卖方市场（即买方多于卖方）。

3.2形式验证

在上述工作的基础上，我们进一步提出了基于时序逻辑的稳定币价格稳定属性的形式化定义[21]。具体来说，稳定性定义为ag的时序逻辑表达式，即相关属性应用于整个状态空间中的所有路径和路径中的所有状态[21]。

AG（p.expanded∧e.updated）⟹！X.buy（扩展效率）

股份公司（p。更新）⟹！X.销售

基差现金异常波动一例

稳定性。为了形式化价格弹性，我们引入扩张效率和收缩效率。以基差现金为例，当p处于供给扩张阶段，E处于更新状态（即系统增加货币供给）时，X不应处于购买状态，即不在买方市场。同样，当p处于供应紧缩阶段，∁处于更新状态时，X不应处于卖出状态，即不在卖方市场。

反例分析。我们使用UPPAAL模检查工具来验证基于现金的时间自动机[16]。图2显示了导致基差现金违反稳定性属性的两个示例，即它具有意外的波动，即无效扩张和无效收缩。在图2a中，系统正处于供给扩张阶段，开始铸造和发行新的稳定币，但此时BAC的需求增加，使DEX进入购买而非出售状态，最终导致BAC价格未如预期下降，扩张无效；在图2B中，当BAC价格低于其锚定价格时，系统处于供应收缩阶段，用户可以用BAC换bab。但是，如果交易不发生，导致BAC供给不发生变化，那么系统供给收缩将是无效的。

4实证分析

在本章中，我们将在上述正式的基差现金建模和验证的基础上，对真实市场中的数据观察进行实证分析。所有数据及其查询语句都可以从dune analytics下载[3]（https://explore.danealytics.com/dashboard/winky)在站台上。

正常。图3a和3b分别代表了供应扩张和供应收缩的正常过程。如图3a所示，随着新BAC的铸造，BAC价格逐渐下降；同样，在图3B中，随着BAC的销毁，BAC价格逐渐上升。

无效的扩展。图3C和图3E显示了第3.2节中提到的BAC从2020年12月14日到15日的无效扩展过程。从图3C可以明显看出，14日0:00和15日0:00时，BAC的供应量增加，而14日0:00后7小时内（红色范围）价格从1.35美元上涨至1.56美元，15日0:00后7小时内（红色范围）价格从1.62美元上涨至1.76美元，涨幅分别为15.72%和8.40%。这种无效扩张可以归因于市场需求的变化，如图3E所示。在图3E中，由于早期bac dai池的流动性挖矿回报率非常高，即使bac处于系统扩张和供应阶段，整个市场对bac的需求也迅速增加。从另一个数据面也可以观察到这种对BAC的需求，即2020年12月14日新投的BAC约92%将在扩容后2小时内迅速流入移动矿池。

无效的紧缩政策。图3D和3F证实了由于未有效拧紧而导致的BAC的意外波动。从2021年1月11日到本文撰写时，虽然系统一直处于供应紧张的阶段，但美国银行的价格一直保持在锚定价格以下，如图3D所示。这种无效收紧的原因是用户参与度太低，也就是说，许多投资者担心，如果美国银行的价格保持在1美元以下，他们会担心不能用bab赎回BAC，所以他们不愿意破坏BAC购买bab债券，基差现金的紧缩供给操作是无效的。如图3F所示，自1月11日以来，销毁的生物活性炭数量较前几天明显减少。

设计决策。首先，在改善稳定方面，货币紧缩政策的设计比扩大供给政策更为重要。由于加密货币的价格通常比较容易下跌，因此当稳定币的价格低于锚定价格时，如何恢复投资者的信心就显得非常重要。开发者也可以在设计之初将协议与更多的生态系统结合起来，从而丰富稳定币应用场景，提高需求。此外，算法控制的次数和周期也是稳定硬币设计过程中的关键因素。

5相关工作

随着稳定币近年来受到越来越多的关注，研究者们继续进行一些研究工作，为其设计货币政策[11][14]。Saito[22]等人提出将需求的波动转化为供给的波动，从而稳定加密货币的价格；Caginalp[10]等人利用资产流动方程建立了加密货币及其稳定性的模；amentrano[8]提出了一种具有供给弹性的加密货币，即哈耶克货币和SAMs[23]进一步提出铸币税份额模。另外，关于算法稳定币的设计，也有许多研究论文和行业报告[9]、[12]、[13]、[15]、[17]、[18]、[20]。他们不仅对不同的稳定币进行了详细的分类，而且阐述了每种模式的优缺点，这在不同程度上成为了以后落地应用的理论基础。

6结论

本文对算法稳定币的波动性进行了深入的理论和实证分析。首先，建立稳定币的形式化建模与验证框架，确定稳定币可能波动的具体条件。然后，通过实证分析验证了模与实际市场表现的一致性。最后，展望了未来稳定币的研究方向。本文使用的数据可以在https://explore.danealytics.com/dashboard/winky在互联网上。

参考

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